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数论 - 质数与合数 - 知乎

数论 - 质数与合数 - 知乎首发于Tiger爱数学切换模式写文章登录/注册数论 - 质数与合数Tiger​数学爱好者，微信公众号“老虎科学探秘”在自然数中有一类数非常特殊，它们叫质数又叫素数。质数指那些大于1的，且除了1和它自身之外再没有其它约数的自然数。合数是指除了1和它自身之外还有其它约数的自然数。自然数1既不是质数也不是合数。100以内的质数有25个，{2、3、5、7、11......}，2是质数中唯一的偶数。质数在自然数的世界中承担着重要的角色，就像元素对于化学或者粒子对于物理一样，从一定的的意义上讲，自然数是由素数构成的。为什么这么讲呢？我们看一下算数基本定理：大于1的自然数n都可以分解成有限个质数的乘积n=p1^a1 x p2^2 x ...x pn^an; p1、p2、......、pn都是质数，a1、a2、......、an都是大于0的自然数。这就是分解质因数，算数基本定理告诉我们两件事：对于任一大于1的自然数，一定可以分解成以上的形式对于任一大于1的自然数，这个分解形式具有唯一性（不计质数的排列次序）质数是不是有限个？当然不是，我们看看欧几里得是怎么证明的：假设质数个数是有限的，有n个，把所有的质数有小到大排列p1、p2、......、pn存在N=p1 x p2 x......x pn +1, N一定大于pn如果N是质数，说明存在一个大于pn的质数N；如果N是合数，那么N一定可以被某个质数整除，但所有的n个质数p1、p2、......、pn都不能整除N，因为它们除N都余1，一定在n个质数之外还有质数，所以假设不成立，质数有无限多个。来个题玩玩：证明存在自然数n，使得n+1、n+2、......、n+2019都是合数。其实只需使得n=2020!+1，那么2020!+2、2020!+3、......、2020!+2020都是合数。这个证明很容易，但结论却很有趣，换句话说，你总可以找到任意多个连续的自然数，它们中都不会出现质数。再来一个：从1~100，任意取一些不同的数相乘使得它们的乘积是平方数，有多少种取法？关\注\公\众\号“老虎科学探秘”后台回复191128，我们来对对答案吧！编辑于 2020-05-06 17:15初等数论小学奥数初中数学​赞同 25​​3 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录Tiger

什么是质数与合数？ - 知乎

什么是质数与合数？ - 知乎切换模式写文章登录/注册什么是质数与合数？易考360管理类联考易考360管理类联考考研辅导什么是质数？什么是合数？1是质数吗？2是合数吗？联考中经常考哪些数？这些看似基础却又经常搞错的数学知识点，常令考生在考试中失分，今天就带大家捋一捋！质数：只有1和它本身两个因数（约数），那么这样的数叫做质数。比如7，只有1和7两个约数。合数：除了能被1和它本身整除，还能被其他的正整数整除，那么这样的数叫做合数。比如8，有1、2、4和8四个约数。所以说，因数个数为2，则是质数；因数个数大于2，则是合数。那“1”因数只有1个，是质数还是合数呢？答案是，既不是质数也不是合数，因为它只有本身一个因数，不符合质数和合数两个定义。在联考中会考啥？怎么考呢？1、30以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29。2、2是唯一一个偶数质数，且常作为考点！其他质数均是奇数！例：如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个数是2！ 如果三个质数之和为偶数，那么其中必有一个数是2！同学们能绕过来吗？接下来让我们看一道例题，联考是怎么考的呢？例：设m、n是小于20的质数，满足条件|m-n|=2的{m，n}共有（ ）。A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 E.8组答案解析：C。枚举思维（20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19），显然，有3,5；5,7；11,13；17,19。共4组，这里要弄清楚3,5和5,3是一样的，集合数数列的区别，有序与无序！若问的是m，n取值有集中情况，则为8种。怎么样，同学们都清楚了吗？编辑于 2022-04-08 11:01数学​赞同 5​​添加评论​分享​喜欢​收藏​申请

质（素）数表: 1 - 100

质（素）数表: 1 - 100

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质（素）数表

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质数表是一种方便的显示质数分布的方式。 质数显示在绿色的地方。点击一个数去查看更多详细信息，包括合数。质数表显示的数高达10000。使用 质数计算器，以找出任意一个数是否是质数，以及质因数分解器，以计算任意合数的因数。

支持的函数和运算

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表达式计算器

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质数

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数字的性质

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3628800,

9876543211,

12586269025

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怎样优雅地判断一个数是不是质数？ - 知乎

怎样优雅地判断一个数是不是质数？ - 知乎切换模式写文章登录/注册怎样优雅地判断一个数是不是质数？忘忧北萱草轻度自由。质数人类对数论的研究可以追溯到公元前，在数论研究的悠久历史中，质数是一个永恒的话题。对于质数的判定，也永远是一个迷人的问题。我们这样定义质数：如果自然数 p > 1 的因数只有1和它本身，那么 p 是质数。质数有很多美妙的性质，比如：如果一个数是质数，那么它是自然数。如果一个数是质数，那么它不是合数。如果一个数是质数，那么它大于等于2。相信我们聪明的读者不难证明这些性质。接下来，让我们进入正题：如何判定一个数是不是质数？入门版素数判定这种高深的数论问题，用一般的编程语言肯定难以优雅地实现。所以，我们必须使用 Wolfram Language 这样专门用于数学计算的语言，才能写出“出淤泥而不染，濯清涟而不妖”的美妙实现。你是素数吗 = PrimeQ;我们来看一个例子：这种纯粹的感觉，就像在QQ群里at你的同学一样自然！但是，我们不能沉溺于舒适区，要勇于面对自己，我们要前往混沌邪恶的 C++ 领域。初级版在进入这一章节之前，我们需要一些十分复杂的数论推导，不喜欢看公式的同学可以暂时跳过下面一小段。要判断一个数是不是质数，其实和判断一个数是不是合数没有太大区别。要判断一个数是合数，按照定义来看，只需要找到一个不是1和它本身的因数就可以。如果我们对一个数 n，找到了这样的因数 m，也就是 m 整除 n，此时一定会有 m \le n 。所以，我们只需要在 2~n-1 的范围内寻找 n 的因数就可以了。上面的推导中居然出现了整整一个公式！我这篇回答的读者要跑掉一半了！根据上面的数论推导，我们可以写出如下的质数判断程序：bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

for(int i = 2; i < n; ++i)

if (n % i == 0) return false;

return true;

}

在这里，我们约定负数和0不是质数。看 C++ 这混沌邪恶的语法，反人类的 for 循环，甚至连 bool 都只是语法糖，在输出的时候只能给出一个冷冰冰的 0 和 1，一点不考虑用户体验……高级版在上面的算法中，我们需要穷举2~n-1的所有整数。真的就没有改进方法了吗？在古希腊时期，有一位数学家叫埃拉托斯特尼，提出了一种方法，叫做埃拉托斯特尼筛法。埃拉托斯特尼筛法是非常经典的质数判定算法，在各种要求精确解的质数判定中，大多数都能见到埃拉托斯特尼筛法的影子。在这里，我必须多次重复埃拉托斯特尼这个长的要命的名字，以表达我对埃拉托斯特尼这位伟大先贤的崇高敬意。埃拉托斯特尼筛法的思想可以给我们很大的启发，埃拉托斯特尼筛法指导我们进一步缩小因数的搜索范围。为此，我们仍然需要更加复杂的数论推导。对于合数 n，我们可以证明它一定有一个小于等于 \sqrt{n} 的非平凡因数。这里的非平凡因数，指的是和1与他本身不同的因数。如果不是，那么它所有的非平凡因数都是大于 \sqrt{n} 的。我们任取其中一个和n不同的非平凡因数 m，那么存在整数 k 使 n=km，那么 k 也为 n 的非平凡因数，但是 k=\frac{n}{m}<\sqrt{n} ，矛盾。所以合数 n 一定有一个小于等于 \sqrt{n} 的非平凡因数。到现在为止我已经用了5个公式了！我的读者已经只剩1/32了！因此，我们只需要在2到 \left[ \sqrt{n} \right] 之间寻找 n 的因数。（这里的 \left[ x \right] 表示不超过 x 的最大整数。）不对，我怎么又用了两个公式……bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

for(int i = 2; i * i <= n; ++i)

if (n % i == 0) return false;

return true;

}

超极版我们刚才的算法都是按照质数的定义，去找一个数有没有因数，这种做法太 naive 了。那么，有没有什么能判定质数的高级定理呢？为了写这篇文章，我耗费了整整180秒上网查资料，找到了这么一个定理：威尔逊定理：对于自然数 p>1，p 是质数当且仅当 (p-1)! \equiv -1 \pmod{p} 。我怎么又用了公式！还用了同余符号！我的读者会全跑掉的啊！按照上面的想法，我们只要求出 (p-1)!+1 除以 p 的余数，看看是不是0就好了。bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

int factor = 1;

for(int i = 2; i < n; ++i)

factor = ((long long)factor * i) % n;

factor = (factor + 1) % n;

return factor == 0;

}

等等，这个算法好像比上面两个都要慢啊！速度什么不重要，重要的是让别人知道了我们能熟练运用威尔逊定理这样高级的数论定理。还有，那个说在项目里这么写代码的会被人打死的站出bubyguoi;ohugkbvfdsvvgrt4u上D版上D与你同在感谢上D把我复活，我又能回来写文章了。刚才的方法，无一例外都是基于简单的数论原理，这种人工设计的算法难以发挥计算机真正的性能。我们要逃脱手工设计算法的桎梏，进入机器学习的神圣殿堂。于是我又花了整整200秒去查找资料，终于在一篇知乎回答中找到了实现方法：作者使用了端到端的双层 LSTM 网络，将数字转为字符串输入，在质数判定问题上进行了1分钟的训练，效果拔群。神经网络学会了“不管你输入啥只要我蒙合数总比蒙质数对的多”。按照这一思想，我们得出了一个对几乎全部自然数正确的质数判定算法：bool 你是质数吗(int n) {

return false;

}

多么简洁的逻辑！机器学习让我们发现了世界的本质，就是大道至简！只要我们愿意舍弃那么一（亿）点点正确性，一切都是如此简单！撒D版欢迎来到D狱上D的算法没能给我们很大的帮助，但是这种思想给了我们一点启发：算法的能力是有极限的。我从短暂的 OI 生活当中学到一件事：越是玩弄优化，就越会发现算法被时间复杂度所限制……除非超越算法。你到底想说什么？我不做人了，JOJO！（划去）我不要精确度了！于是我们祭出了费马小定理：如果 p 是素数，那么有 a^p \equiv a \pmod p 。虽然费马小定理的逆命题是不成立的，但是不排除它在绝大多数情况下都是成立的。为了方便计算，取 a=2，于是我们又得出了一个对几乎全部自然数正确的质数判定算法：bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

int t = 1, m = 2, p = n;

while(p) { // 快速幂取模

if (p % 2) t = ((long long)t * m) % n;

m = (m * m) % n;

p >>= 1;

}

t = (t - 2) % n;

return t == 0;

}

这个算法的速度相比之前的算法，完全不在一个数量级上，只是精确度稍微差了那么一（亿）点点。比如经典的卡迈克数561，它虽然是合数（561=3×11×17），但是会被这个算法判定为质数。但是，如果我们对这一算法进行一（亿）点点改进，就能得到大名鼎鼎的 Miller-Rabin 素性检验算法[1]。这一算法在费马小定理之外，还需要另一个更加复杂的数论定理：二次检验定理：对于质数 p，在0~p-1范围内，满足 x^2\equiv 1\pmod p 的整数只有 1 和 p-1。证明就留做习题吧。根据二次检验定理，对于一个整数 x，如果 x^2,x^4,x^8,\cdots 除以 n 的余数都不为1，那么 n 就很有可能是一个质数。然后我们再把费马小定理换个形式，如果 a^{n-1} 除以 n 的余数为1，那么 n 很可能是一个质数。接下来，就是撒D赐予我们的鬼才逻辑了。首先把 n-1 分解为 2^s\cdot t ，接着再把 a^t 不断平方，每平方一次，进行一次二次检验，这样平方 s 次之后，恰好就求出了 a^{n-1} 。int prime[10]={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29};

bool 你是质数吗(int n) {

if (n <= 1) return false;

if (n == 2) return true;

int s = 0, t = n - 1;

while (!(t % 2)) ++s, t >>= 1; // 求解 n-1=2^s*t

for (int i = 0; i < 10 && prime[i] < n; ++i) {

int a = prime[i];

int b = 1, m = a, p = t;

while (p) { //快速幂，求 b=a^t

if (p % 2) b = ((long long) b * m) % n;

m = ((long long)m * m) % n;

p >>= 1;

}

if (b == 1) continue;

for (int j = 1; j <= s; ++j) { // 进行 s 次二次检验

int k = ((long long)b * b) % n;

if(k == 1 && b != n-1) return false;

b = k;

}

if (b != 1) return false;

}

return true;

}

这里选取了前10个质数作为底，已经可以规避绝大多数的误检情况。最后的最后也许质数检验这一个问题并不像它看上去的那么简单。在它的背后，蕴含着深刻的数学原理。2002年，来自印度坎普尔理工学院的计算机科学家，Manindra Agrawal、Neeraj Kayal和Nitin Saxena，发表了论文 PRIMES is in P[2]，提出了第一个一般的、确定性的、不依赖未证明命题的多项式时间素数判定算法，作者们也因此获得了哥德尔奖和富尔克森奖。回观这篇文章中提到的算法，每一次进步都离不开跳出框架局囿的创新思考。要敢于打破那些固有认知中的限制。也许哪一天，用神经网络判别质数这样看起来根本不可能的想法，也会变成现实呢。参考^Hurd J. Verification of the Miller–Rabin probabilistic primality test[J]. The Journal of Logic and Algebraic Programming, 2003, 56(1-2): 3-21.^Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, "PRIMES is in P", Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781–793.发布于 2020-03-17 12:57初等数论素数数论​赞同 274​​22 条评论​分享​喜欢​收藏​申请

怎么通俗的解释质数和合数？ - 知乎

怎么通俗的解释质数和合数？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答​切换模式登录/注册数论素数初等数论怎么通俗的解释质数和合数？关注者3被浏览7,596关注问题​写回答​邀请回答​好问题​添加评论​分享​5 个回答默认排序李仲坚1948​ 关注质数也称素数。依整除性定义：素数只能被常数1或自己整除，不能被常数1或自己以外的其他数整除，那么，这种正整数称为素数。乘积判断：素数只能用常数1乘以自己，不能用其他数两个数的乘积替补的正整数。合数：除了能被常数1或自己整除，还能被常数1或自己以外的正整数整除。合数的乘积，除了常数1乘以自己外，还能用其他两个正整数的乘积而确定。发布于 2020-03-08 15:13​赞同 3​​添加评论​分享​收藏​喜欢收起​罗胖子数学课堂坚持学习，坚持分享​ 关注质数和合数最快分辨的方法是什么？6529 播放 · 1 赞同发布于 2022-06-04 15:39· 418 次播放​赞同​​添加评论​分享​收藏​喜欢

合数 - 维基百科，自由的百科全书

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序言

1性质

2合数的类型

3脚注

4参考文献

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合数

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用古氏积木排列出合数10的因数

合数（右侧红色部份）可以用长宽都不是1的长方形来表示，但质数（左侧蓝色部份）只能用其中一边长是1的长方形表示

在数论中，合数（也称为合成数）是除了1和其本身外具有其他正因数的正整数[1][2]。依照定义，每一个大于1的整数若不是质数，就会是合数[3][4]。而1则被认为不是质数，也不是合数。

例如，整数14是一个合数，因为它可以被分解成

2

×

7

{\displaystyle 2\times 7}

。而整数2无法再找到本身和1以外的正因数，因此不是合数。

起初120个合数为： 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150, 152, 153, 154, 155, 156, 158, ...等等（OEIS数列A002808）。

每一个合数都可以写成二个或多个质数（不一定是相异质数）的乘积[2]。例如，合数299可以写成13 × 23，合数360可以写成23 × 32 × 5，而且若将质因数依大小排列后，此表示法是唯一的。这是算术基本定理[5][6][7][8]。

有许多的素性测试可以在不进行因数分解的情形下，判断一数字是质数还是合数。

性质[编辑]

所有大于2的偶数都是合数，也就是在正整数中除了2以外，其馀数的个位数为0、2、4、6、8者均为合数。4为最小的合数。

每一合数都可以以唯一形式被写成质数的乘积。（算术基本定理）

所有合数都有至少3个正因数，例如4有正因数1、2、4，6有正因数1、2、3、6。

对任一大于5的合数

n

{\displaystyle n}

，

(

n

−

1

)

!

≡

0

(

mod

n

)

{\displaystyle (n-1)!\equiv 0{\pmod {n}}}

。（威尔逊定理）

对于任意的正整数

n

{\displaystyle n}

，都可以找到一个正整数

x

{\displaystyle x}

，使得

x

{\displaystyle x}

、

x

+

1

{\displaystyle x+1}

、

x

+

2

{\displaystyle x+2}

、…、

x

+

n

{\displaystyle x+n}

都是合数。

合数的类型[编辑]

100以内的过剩数、本原过剩数、高过剩数、超过剩数、可罗萨里过剩数、高合成数、superior highly composite number（英语：superior highly composite）、奇异数和完全数的欧拉图，以及和亏数、合数的关系

分类合数的一种方法为计算其质因数的个数。一个可表示为两个质数之乘积的合数称为半质数，有三个质因数的合数则称为楔形数。在一些的应用中，亦可以将合数分为有奇数的质因数的合数及有偶数的质因数的合数。对于后者，

μ

(

n

)

=

(

−

1

)

2

x

=

1

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x}=1}

（其中μ为默比乌斯函数且

x

{\displaystyle x}

为质因数个数的一半），而前者则为

μ

(

n

)

=

(

−

1

)

2

x

+

1

=

−

1

{\displaystyle \mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1}

注意，对于质数，此函数会传回-1，且

μ

(

1

)

=

1

{\displaystyle \mu (1)=1}

。而对于有一个或多个重复质因数的数字

n

{\displaystyle n}

，

μ

(

n

)

=

0

{\displaystyle \mu (n)=0}

。

另一种分类合数的方法为计算其正因数的个数。所有的合数都至少有三个正因数。一质数

p

{\displaystyle p}

的平方，其正因数有

{

1

,

p

,

p

2

}

{\displaystyle \{1,p,p^{2}\}}

。一数若有著比它小的整数都还多的正因数，则称此数为高合成数。另外，完全平方数的正因数个数为奇数个，而其他的合数则皆为偶数个。

还有一种将合数分类的方式，是检查其质因数是否都比特定数字大，或是比特定数字小。这些会称为光滑数或粗糙数。

脚注[编辑]

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, pp. 23–24)

^ 2.0 2.1 Long (1972, p. 16)

^ Fraleigh (1976, pp. 198,266)

^ Herstein (1964, p. 106)

^ Fraleigh (1976, p. 270)

^ Long (1972, p. 44)

^ McCoy (1968, p. 85)

^ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 53)

参考文献[编辑]

Fraleigh, John B., A First Course In Abstract Algebra 2nd, Reading: Addison-Wesley, 1976, ISBN 0-201-01984-1 

Herstein, I. N., Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, 1964, ISBN 978-1114541016 

Long, Calvin T., Elementary Introduction to Number Theory 2nd, Lexington: D. C. Heath and Company, 1972, LCCN 77-171950 

McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68-15225 

Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R., Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, 1970, LCCN 77-81766 

相关条目[编辑]

维基教科书中的相关电子教程：小学数学/质数与合数

质数

质因数

最小公倍数

最大公因数

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取自“https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=合数&oldid=73944684”

分类：​初等数论算术整数数列

本页面最后修订于2022年10月4日 (星期二) 14:52。

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学生作品 | 如何快速区分100以内质数与合数（一）_倍数

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学生作品 | 如何快速区分100以内质数与合数（一）

2020-03-01 20:35

来源:

南明数学

原标题：学生作品 | 如何快速区分100以内质数与合数（一）

本文来自橄榄树教室 寒同学

发明数学，创造数学

像数学家一样思考 数学精彩观念的诞生

数学可以越学越容易吗？贞元数学告诉你：当然可以！

编者按：

这段时间虽然在网络的课堂上看不到孩子们的面容，但是从他们激烈的讨论中已经感受到了往日的神采飞扬，自然数正被这群勇于探索的孩子们口里说着，心里记着，笔下流淌着......

如何快速区分质数与合数？这个问题看起来有一定的难度，但是如果仔细分析一下还是很简单的。

质数的定义是什么？质数就是一个数除了自身和1，没有其它的因数。也就是说，因数的个数只有2个数的都是质数。先画一个百数表，这样确定起来很方便。

10以内的质数，我们可以先找出来。这时我发现除2以外的偶数都是合数。那么100以内的数字里面都存在这样的规律吗？针对这个疑问，我们讨论一下偶数是怎么定义的：能被2整除的数称为偶数。除了2以外，其它的偶数肯定都有因数2，所以所有的偶数（0和2除外）肯定就是合数。

同理，还有5的倍数和3的倍数。我们可以再画个百数表，把5的倍数和3的倍数画出来，并且找规律。

我发现3的倍数确认法就是把两位数的个位与十位的数字加起来，如果能被3整除，那么这个数字也是3的倍数。5的倍数更好找了，凡是个位数字是5或0的，都是5的倍数。而在5的倍数里面，可以排除掉个位是0的，因为我发现2的倍数就是个位上是0、2、4、6、8的，都是2的倍数。2的倍数里面已经包括了个位是0的情况，所以可以暂且不说5的倍数里面个位是0的情况。

但是，除此之外，难道其它的数都是质数吗？我觉得不是，因为7×7=49，所以49除了1和49，还有因数7，类似的数字还有77和91。

展开全文

我惊奇地发现，这三个数其实都是7的倍数，那么，我们判断100以内的数是否是质数，只要看它是否是2、3、5、7的倍数就可以了。那有人可能会问100以内的自然数为什么只看是否是这4个数的倍数呢？10以下的数字难道不应该都要除一遍吗？其实不用，一个数如果是4、6、8，10的倍数，那么这些数就一定是2的倍数。一个数如果是6和9的倍数，那么它就一定也是3的倍数，所以我们就可以暂且不去管它们。

这样就可以快速判断100以内的质数与合数了。

我们的思涵同学和寒的想法是一样的，他在自己的文章中总结到：你只要记住这四个数的倍数规律，就可以判定它是质数了。

如下图：（2 的倍数：红色；3的倍数：蓝色；5的倍数：绿色；7的倍数：紫色。2、3、5、7除外，它们都是质数，用黑色表示。）

质数顺口溜

百内质数来巧记，

偶数除2是合数，

末尾是5好抢眼，

除5本身是合数，

其它数字来相加，

和能除3是合数，

除此之外要注意，

1，77，91，49是特例。返回搜狐，查看更多

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