imtoken冷钱包下载地址|质数规律

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2024-03-10 00:19:35

质数分布有没有规律？ - 知乎

质数分布有没有规律？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数学数论素数解析数论素数定理质数分布有没有规律？哪位大神能谈谈质数有啥分布规律。像费马平方和定理算不算一个质数分布规律。显示全部关注者97被浏览189,756关注问题写回答邀请回答好问题 910 条评论分享40 个回答默认排序TravorLZH数学话题下的优秀答主关注规律必然是有的，而且素数分布问题一直位于数学研究的前沿。若用log表示自然对数、π(x)表示不超过x的素数之数量，则根据素数定理有：\lim_{x\to\infty}{\pi(x)\log x\over x}=1 现在对两侧取对数，得：\lim_{x\to\infty}{\log\pi(x)+\log\log x-\log x}=0 现在对两侧同时除以log x，得：\lim_{x\to\infty}{\log\pi(x)\over\log x}=1 现在再根据素数定理，可得：1=\lim_{x\to\infty}{\log\pi(x)\over\log x}\cdot\lim_{x\to\infty}{\pi(x)\log x\over x}=\lim_{x\to\infty}{\pi(x)\log\pi(x)\over x} 现在用 p_n 表示第n个素数，则由定义可知 \pi(p_n)=n 。由于有无穷个素数，我们也知道 \lim_{n\to\infty}p_n=\infty 。所以我们现在可以根据海涅定理，把上述函数极限改成数列极限，即：\lim_{n\to\infty}{n\log n\over p_n}=1 所以第n个素数的大小渐近于 n\log n 。换句话说，对于每一个 \varepsilon>0 均存在足够大的N使得第n>N个素数的大小满足如下不等式：(1-\varepsilon)n\log n[数学科普] 质数的通项公式 - 知乎

[数学科普] 质数的通项公式 - 知乎切换模式写文章登录/注册[数学科普] 质数的通项公式DeePhy中国科学技术大学信息与通信工程博士搬运自 Simple Formula Makes Prime Numbers Easy, but a Million-Dollar Mystery Remains | Scientific American，侵删。关于质数的重要数学问题，除了黎曼猜想还有很多。例如，哥德巴赫猜想证明任何大于2的偶数都可以表示为两个质数的和（如4 = 2 + 2，6 = 3 + 3，8 = 3 + 5等）。令人惊讶的是，关于质数的许多谜题仍然存在，毕竟已经存在多个计算质数的公式。克里斯托弗·威尔恩斯(Willans)提出了一种“质数生成器”的公式，用于计算第n个质数。这个函数，记作p(n)，对于任何n的值，都会给出第n个质数。例如，当n = 5时，这个公式返回p(5) = 11，因为11是第五个质数。这个公式应该能够解决关于质数的所有谜题，对吗？并非完全如此。威尔恩斯公式的思想是首先找到一个能够检测质数的函数，我们称之为f(x)。如果检测器有效，该函数在每次检测到一个质数时会给出1。否则，该函数会给出0，表示未检测到任何质数。[了解更多关于质数的研究]一旦你有了这个质数检测函数f(x)，你就可以将其转化为质数生成器p(n)。根据检测器构建生成器假设你已经找到了质数检测函数f(x)。借助它的帮助，你可以推断出给定区间内的质数数量。例如，如果你将 f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(10) 的值相加，结果将是0到10之间所有质数的数量，即4个（该区间内的质数是2、3、5和7）。你可以更详细地观察关于 f 的每个加和项：f(1) = 0,\\ f(1) + f(2) = 1,\\ f(1) + f(2) + f(3) = 2,\\ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2,\\ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 3,\\ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 3,\\ f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 4... 这个原理可以推广。第n个质数是使得 f(1) + f(2) + ... + f(x) = n 的最小的自然数 x 。这意味着，如果你能用一个函数表达这个过程，并且这个函数可以给出所求的值x，那么你就创建了一个质数生成器。首先，引入另一个辅助函数 g(x) ，对应于和 f(1) + ... + f(x) 。因此：g(1) = f(1) = 0,\\ g(2) = f(1) + f(2) = 1,\\ g(3) = f(1) + f(2) + f(3) = 2,\\ g(4) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 2,\\ g(5) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) = 3,\\ g(6) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) = 3,\\ g(7) = f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + f(5) + f(6) + f(7) = 4 ... 因此，回到寻找第四个（或更一般的第n个）质数的问题，你需要计算有多少个x的值满足 g(x) 小于4（或n）。通过这种方式，你将得到你要寻找的第四个（或第n个）质数的值。事实上，有一个函数正好可以实现这个目标。虽然它看起来很复杂：\sum_{i=1}^{2^n}\left\lfloor\left(\frac{n}{g(i)+1}\right)^{\frac{1}{n}}\right\rfloor+1\\方括号⌊*⌋表示将内部的值向下取整。所以，例如，⌊ 1.7 ⌋ = 1，⌊ 1.12111167545 ⌋ = 1。在这种情况下，方括号内的项似乎更复杂一些。为了更好地理解它，请看一下这个对应的图形，它绘制了该项的图像，假设i=4，而n是变量：你现在可以看到的是，无论 n 多大或多小，方括号内的项都取值在 0 到 1 或 1 到 2 之间。因此，带有方括号的表达式返回 0 或 1。事实上，只要 g ( i ) 小于 n，结果始终为 1。另一方面，一旦 g ( i ) 等于 n 或超过 n，则结果将为 0。外部总和仅用于累加贡献。因此，如果您评估 n = 4 的公式以获取第四个质数，则会得到以下结果：\sum_{i=1}^{16}\left\lfloor\left(\frac{4}{g(i)+1}\right)^{\frac{1}{4}}\right\rfloor+1=1+1+1+1+1+1+0+\ldots+0+1=7\\这不仅适用于 n = 4，而且适用于任何 n。通过使用这个公式，你总是可以得到第 n 个质数。但到目前为止，我们讨论的前提是假设存在一个质数检测器 f(x) ，幸运的是这个表达式也是显示存在的，f(x)=\left\lfloor\cos ^2\left(\pi \frac{(x-1) !+1}{x}\right)\right\rfloor\\因为平方余弦只返回0和1之间的值，这保证了 f(x) 只能是0或1，这正是我们在检测器函数中所需的。但是对于哪些x值，f(x)=0，对于哪些值函数等于1，这需要考虑余弦函数的参数： π x [(x-1)!+1]⁄x ，其中感叹号表示阶乘，它将所有自然数乘以阶乘前的数字。选择x不同的值并计算 π x [(x-1)!+1]⁄x ，则会得到以下结果：注意到规律了吗？如果x是一个质数，那么结果是π的整数倍；否则就不是。对于所有的x都成立。这个定理在历史上已经被证明了多次。虽然它以数学家约翰·威尔逊的名字命名，他在18世纪提出了这个猜想，而Joseph-Louis Lagrange于1771年就已经证明。但他远非第一个证明它的人。事实上，阿拉伯学者Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham在1000年左右就提出了相应的猜想。百万美元大奖仍未被领取威尔逊定理可以用来构建一个检测器：整数倍的π的余弦总是产生1或-1，而余弦函数的所有其他参数则产生小于1的结果。这完成了质数探测器。通过对平方余弦函数取整（通过方括号），f(x)在x为质数时返回所需的值1，否则返回0。通过将迄今为止获得的所有信息汇总，可以给出一个实用的计算质数的公式：p_n=1+\sum_{j=1}^{2^n}\left\lfloor\left(\frac{n}{\sum_{j=1}^i\left\lfloor\cos ^2\left(\pi \frac{(j-1) !+1}{j}\right)\right\rfloor}\right)^{\frac{1}{n}}\right\rfloor\\请随意尝试一下。如果你想计算第五个质数，你只需要将n = 5代入公式，你就会得到正确的结果11。事实上，这个方程是在1964年由某个名叫C. P. Willans的人发表的。关于Willans的身份细节至今仍然未知。他没有撰写其他技术文章。但我们可以假设Willans并没有因为这个公式而成为百万富翁。那时千禧年奖还不存在，而且他的公式也无法回答与质数相关的任何重要数学问题。如果你尝试使用这个公式，你可能已经注意到了主要问题。这些计算非常复杂。即使是计算机也很难计算这个公式，尤其是对于较大的n值。除了其他问题，阶乘也是问题的一部分：值很快变得非常大，计算需要大量的计算能力。如果你想计算巨大的质数，你将会超负荷使用全球每台超级计算机。发布于 2023-11-26 20:23・IP 属地广东数学解析素数赞同 8添加评论分享喜欢收藏申请

奇妙的素数（1） ——素数定理 - 知乎

奇妙的素数（1） ——素数定理 - 知乎首发于数字人生切换模式写文章登录/注册奇妙的素数（1） ——素数定理刘升平学数学的，但忘的差不多回小学了。素数的作用很大，我们生活中息息相关，素数的谜团也很大，一直期待人们完全揭开。网络中不但有很多“民科”物理学家，“民科”化学家，也活跃着很多“民科”数学家，当然这里指的“民科”是那些没有经过正规的专业知识培养，全凭三分钟热血，就脑洞大开的胡思乱想的人士。素数又被称为质数，就是大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。比如2=1×2；5=1×5；23=1×23；……所以2、5和23就是素数。但6=1×6=2×3，即6除了1和自身6外还有其他因数2和3；8=1×8=2×4，所以8也不是素数。依此定义2，3，5，7，11，13，17，19……都是素数。（1）素数的定义素数又被称为质数，就是大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。比如2=1×2；5=1×5；23=1×23；……所以2、5和23就是素数。但6=1×6=2×3，即6除了1和自身6外还有其他因数2和3；8=1×8=2×4，所以8也不是素数。依此定义2，3，5，7，11，13，17，19……都是素数。那素数有没有尽头呢？就是有没有一个最大素数存在呢？欧几里得（公元前330年~公元前275年，古希腊人，数学家）在他的经典著作《几何原本》里就给出了一个很巧妙的反证法证明（不想看可以略过）：（假设素数是有限的，总共只有n个，最大的一个素数是p，设Q为所有素数之积加上1，即Q=（2×3×5×…×p）+1，显然Q比p大，按照假设则Q不是素数，那Q就应该有除了1和自身之外的其他因数，或者说成可以被2、3、…、p中的某一数整除，而Q不管被这2、3、…、p中哪一个数整除都会余1，这又说明Q不能被2、3、…、p整除，互相矛盾．所以素数是无限的．）既然素数是有无穷多个，那下一个问题就是数学家想弄明白的，素数的分布是否有规律呢？通过计算可以知道素数越大就会越稀少，就是顺着自然数数下去，当数越来越大时，素数出现的机会越来越稀少，可能连续出现两个三个的，然后很久都不会出现，但最后总是会出现。感觉看起来毫无规律可言，所以以前的数学家估计对素数的规律是充满了绝望。图中是把从1开始的自然数螺旋排列，标记出的就是素数，这个图越往外，数越大，素数出现的越稀疏。（2）费马数正是因为素数的出现毫无规律可言，所以历史上关于素数的猜想也是很多，有正确的，也有错误的，也有悬而未决的。 17世纪法国业余数学家，别看人家冠以业余的称呼（没受过系统的专业教育），但他的风光都盖过同时代法国的专业数学家了，费马发现2^(2^n)+1这个形式（后人称为费马数），当n=0,1,2,3,4时，分别对应的数是3，5，17，257，65537都是素数。n=5这个数太大了，当时的条件很难完成，于是他猜想2^(2^n)+1这个形式对应的数都是素数。后来人们算出来n=5时，这个数是4294967297=641×6700417，显然n=5不是素数，后来有了计算机后，人们通过大量的计算，发现已知的n大于等于5对应的数都不是素数。（3）素数定理把正整数用极坐标表示时，去除素数对应的点，会有很奇妙的形式出现。后来的数学家把希望放在寻找大致的一个出现概率（分布密度）上，例如：1~10中有四个素数2、3、5、7，素数占全体数的比例是40%；1~100中有25个素数，素数占全体数的比例是25%；1~1000中有168个素数，素数占全体数的比例是16.8%；1~100万中有78498个素数，素数占全体数的比例是7.84%；前1亿个数，素数占全体数的比例是5.76%；前100万亿个数，素数占全体数的比例是3.2%左右，等等。函数中有这样的一个函数y=1/ln(x)（以e为的对数的倒数，其中e≈2.71828…），x=100时，y=21.7%x=1000时，y=14.5%x=100万时，y=7.24%x=1亿时，y=5.43%x=100万亿时，y=3.1%N越来越大，两个数的相对差距也越来越小。感觉是不是越来越接近，其实当x继续变大时，这两个数的差距越来越小，最后这个差趋于0。后来经过欧拉、高斯、黎曼等等很多光环加身的大数学家不断完善和发展，一直到19世纪末，数学家才证明了与此相关的著名的“素数定理”。介绍这个定理前，首先定义一个π(x)符号，就是表示小于或等于自然数x的所有素数个数，例如通过前面介绍的可知道 π(100)=25，π(1000)=168 去除极限写法，这个定理的简单表示就是：当x趋于无穷大时，π(x)和x /ln(x)这两个数的比值趋于1 人们欣喜若狂的发现，一个看似杂乱无章的素数，其密度分布竟然有一个函数趋近对应，当然这个函数还有很粗糙的，x若不是很大很大，他们之间的差距还是不小。黎曼（波恩哈德·黎曼，公元1826~1866年，德国著名的数学家）1859年给出的黎曼猜想更进一步精确的给出了大素数分布的函数表达，有兴趣的可以自行百度了。黎曼猜想也是当今数学界中非常迫切需要证明但又无人证明的猜想，若此猜想被证明，会有一大批重要的命题升级为定理，若此猜想被否定，同样要埋葬一大批人的心血之作。发布于 2018-05-25 16:32初等数论素数赞同 576 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录数

数论（一）质数 - 知乎

数论（一）质数 - 知乎切换模式写文章登录/注册数论（一）质数小螺蛎数量这一概念应该是人类能够最原始而直接地从生活中感受到的数学内容之一了。想一想我们最早接触到的数学应该就是认识数字了吧。在对自然数的研究中有一个很重要的概念，就是质数以及与其相对应的合数，这一回我们就来聊一聊质数。质因数分解在研究一个正整数时，最直接的一种方法就是将其分解(factorization)。但在分解的过程中有不同的方法，如12既可以写成2×6，也可以写成3×4。那么有没有一种方法将其分解为唯一的形式呢？答案就是继续分解，直到无法分解为止。根据算数基本定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）,所有大于1的自然数都可以被完全分解成质数的乘积的形式。如上面的例子，12=2×6=2×2×3；或写成12=3×4=3×2×2；我们发现这两种分解方法都得到了同样的结果。这样无法再分解的数就是质数，或称素数。而那种可以继续分解的数就是合数。这是一个比较直观的定义。准确地说，质数是除去1和它自身之外，再没有其他因数的正整数。因为1的存在，任何正整数都可以写成1乘以其自身。说到这里，想必读者对质数已有了一个直观的了解。就像我们刚刚所说的，质数的定义就是想要描述那些基本的数。质数之于合数，打个不甚恰当的比方，就好比字母相对于单词。质数作为基本的单位，可以合成各种合数；而任何合数都是由质数合成而来的。质数的英文prime number中的prime就有首要的、基本的意思。但不知为何，在汉语中prime number写成了质数。可能是prime也有优质的意思吧。只能说是中文单字命名时的一种缺陷了。而合数(composite number)就更能顾名思义了，composite即为合成的意思。质数的特征不同于英文中的字母只有有限个这一特点，质数有无限多个。这一发现早在早在公元前就被欧几里得(Euclid)提出：假设质数的个数只有有限个：2，3，5，7…p，p为最大的质数。则所有的正整数都由这些质数合成而来，也就是所有的数都可以被2，3，5，7…p中的某些数整除，那么，2×3×5×7×…×p+1这个合数肯定也能够被2，3，5，7...p中的某些数整除。但是，从2×3×5×7×…×p+1这个表达式我们就能看出来，它并不能被2，3，5，7...p中的任何数整除，也就形成了悖论，所以我们之前的假设并不成立，也就说明了一定有无限多个质数。（反证法的典型应用）质数都有哪些呢？刚才我们提到的2，3，5，7都是质数，我们可以按照质数的定义继续寻找，2，3，5，7，11，13，17，19，23...质数与质数之间看似毫无关系，但仔细观察还是能找出一些规律的。下图中列出了100以内的质数。根据算术基本定理，所有合数都能够写成质数乘积的形式，因此100以内的合数必然是2，3，5或7中的至少一个数的倍数，这是因为若非如此，则这个合数必然是大于7的质数之积，则超出了100这一范围。这也就是说，在100以内的数中，合数必为2或3或5或7的倍数。除此之外的数则为质数（习惯上规定1既不是质数也不是合数）。因为2的倍数以2、4、6、8、0结尾，5的倍数以5、0结尾，所以大于10的质数必然不第2列、第4列、第5列、第6列、第8列和第10列。其余列中在除掉3的倍数和7的倍数，剩余的则为质数。关于如何快速判断出倍数关系的问题会在以后讨论。发布于 2020-06-19 09:03数学数论赞同 104 条评论分享喜欢收藏申请

质数_百度百科

度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心质数[zhì shù]播报讨论上传视频数学概念收藏查看我的收藏0有用+10质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。中文名质数外文名prime number别名素数讨论范围非0自然数定义只有1和它本身两个因数的自然数反义词合数所属范围自然数目录1简介2性质3应用4编程▪基本判断思路▪代码▪素性检测▪筛素数法5猜想▪哥德巴赫猜想▪黎曼猜想▪孪生质数▪梅森质数简介播报编辑质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。质数的个数是无穷的。欧几里得的《几何原本》中有一个经典的证明。它使用了证明常用的方法：反证法。具体证明如下：假设质数只有有限的n个，从小到大依次排列为p1，p2，……，pn，设N=p1×p2×……×pn。如果为素数，则要大于p1，p2，……，pn，所以它不在那些假设的素数集合中。如果N+1为合数，因为任何一个合数都可以分解为几个素数的积；而N和N+1的最大公约数是1，所以不可能被p1，p2，……，pn整除，所以该合数分解得到的素因数肯定不在假设的素数集合中。因此无论该数是素数还是合数，都意味着在假设的有限个素数之外还存在着其他素数。所以原先的假设不成立。也就是说，素数有无穷多个。其他数学家给出了一些不同的证明。欧拉证明了全部素数的倒数之和是发散的，恩斯特·库默的证明更为简洁，哈里·弗斯滕伯格则用拓扑学加以证明。尽管整个素数是无穷的，仍然有人会问“100，000以下有多少个素数？”，“一个随机的100位数多大可能是素数？”。素数定理可以回答此问题。性质播报编辑1、质数p的约数只有两个：1和p。2、算术基本定理：任一大于1的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质数之积，且这种分解是唯一的。3、质数的个数是无限的。4、质数的个数公式是不减函数。5、若n为正整数，在到之间至少有一个质数。6、若n为大于或等于2的正整数，在n到之间至少有一个质数。7、在一个大于1的数a和它的2倍之间（即区间（a, 2a]中）必存在至少一个素数。8、存在任意长度的素数等差数列 [1]。 9、任一充分大的偶数都可以表示成一个素数加一个素因子个数不超过2个的数的和，简称为“1+2”。 [2]。应用播报编辑质数被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人，任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找素数的过程），将会因为找质数的过程（分解质因数）过久，使即使取得信息也会无意义。在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数设计成质数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。以质数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。多数生物的生命周期也是质数（单位为年），这样可以最大程度地减少碰见天敌的机会。编程播报编辑基本判断思路在一般领域，对正整数n，如果用2到之间的所有整数去除，均无法整除，则n为质数。代码Python 代码：from math import sqrt

def is_prime(n):

if n == 1:

return False

for i in range(2, int(sqrt(n))+1):

if n % i == 0:

return False

return TrueJava代码：1.

public static boolean testIsPrime2(int n){

if (n <= 3) {

return n > 1;

}

for(int i=2;i

if(n%i == 0)

return false;

}

return true;

}

/*优化后*/

public static boolean testIsPrime3(int n){

if (n <= 3) {

return n > 1;

}

for(int i=2;i<=Math.sqrt(n);i++){

if(n%i == 0)

return false;

}

return true;

}

public class Prime {

public static void main（String[] args） {

int a = 17; //判断17是不是质数

int c = 0;

for (int b = 2; b < a; b++) {

if (a % b != 0) {

c++;

}

if (c == a - 2) {

System.out.println(a + "是质数");

} else {

System.out.println(a + "不是质数");

}

}Php代码：function isPrime($n) {//TurkHackTeam AVP production

if ($n <= 3) {

return $n > 1;

} else if ($n % 2 === 0 || $n % 3 === 0) {

return false;

} else {

for ($i = 5; $i * $i <= $n; $i += 6) {

if ($n % $i === 0 || $n % （$i + 2) === 0） {

return false;

}

return true;

}

}C#代码：using System;

　namespace 计算质数

　{

　 class Program

　 {

　 static void Main(string[] args)

　 {

　 for (int i = 2,j=1; i < 2100000000&&j<=1000; i++)//输出21亿内的所有质数，j控制只输出1000个。

　 {

　 if (st(i))

　 {

　 Console.WriteLine("{0,-10}{1}",j,i);

　 j++;

　 }

　 static bool st(int n)//判断一个数n是否为质数

　 {

　 int m = (int)Math.Sqrt(n);

　 for(int i=2;i<=m;i++)

{

if(n%i==0 && i!=n)

return false;

　 }

return true;

　 }

　C代码：#include

#include

int main()

{

double x,y,i;

int a,b;

x = 3.0;

do{

i = 2.0;

do{

y = x / i;

a = (int)y;

if(y != a)//用于判断是否为整数

{

if(i == x - 1)

{

b = (int)x;

printf("%d\n",b);

}

i++;

}while(y != a);

x++;

}while(x <= 10000.0);//3到10000的素数

system("pause");//防止闪退

return 0;

}C/C++代码：#include

#include

using namespace std;

const long long size=100000;//修改size的数值以改变最终输出的大小

long long zhishu[size/2];

void work (){//主要程序

zhishu[1]=2;

long long k=2;

for(long long i=3;i<=size;i++){//枚举每个数

bool ok=1;

for(long long j=1;j

if(i%zhishu[j]==0){

ok=!ok;

break;

}

if（ok）{

zhishu[k]=i;

cout<<"count"<

k++;

}

int main（）{

freopen("zhishu.out","w",stdout);

cout<<"count1 2"<

work();

return 0;

}bool isPrime(unsigned long n) {

if (n <= 3) {

return n > 1;

} else if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) {

return false;

} else {

for (unsigned short i = 5; i * i <= n; i += 6) {

if (n % i == 0 || n % （i + 2） == 0) {

return false;

}

return true;

}

}Pascal代码：function su(a:longint):boolean;

var

begin

if a=2 then exit(true) else for i:=2 to trunc(sqrt(a))+1 do if a mod i=0 then exit（false）;

exit(true);

end.Javascript代码：function isPrime(n) {

if (n <= 3) { return n > 1; }

if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) { return false; }

for (var i = 5; i * i <= n; i ++) {

if (n % i == 0 || n % (i + 1) == 0) { return false; }

}

return true;

}Go代码：func isPrime(value int) bool {

if value <= 3 {

return value >= 2

}

if value%2 == 0 || value%3 == 0 {

return false

}

for i := 5; i*i <= value; i += 6 {

if value%i == 0 || value%（i+2） == 0 {

return false

}

return true

}Basic 代码Private Function IfPrime（ByVal x As Long） As Boolean

Dim i As Long

If x < 0 Then x = -x

If x = 2 Then Return True

If x = 1 Then Return True

If x = 3 Then Return False

If x = 0 Then

MsgBox("error",,)

Return False

End If

For i = 2 To Int(Sqrt(x)) Step 1

If x Mod i = 0 Then Return False

Next i

Return True

End FunctionALGOL代码begin

Boolean array a[2:100];

integer i,j;

for i := 2 step 1 until 100 do

a[i] := true;

for i := 2 step 1 until 10 do

if a[i] then

for j := 2 step 1 until 1000÷i do

a[i × j] := false;

for i := 2 step 1 until 100 do

if a[i] then

print (i);

end 素性检测素性检测一般用于数学或者加密学领域。用一定的算法来确定输入数是否是素数。不同于整数分解，素性测试一般不能得到输入数的素数因子，只说明输入数是否是素数。大整数的分解是一个计算难题，而素性测试是相对更为容易（其运行时间是输入数字大小的多项式关系）。有的素性测试证明输入数字是素数，而其他测试，比如米勒 - 拉宾（Miller–Rabin ）则是证明一个数字是合数。因此，后者可以称为合性测试。素性测试通常是概率测试（不能给出100%正确结果）。这些测试使用除输入数之外，从一些样本空间随机出去的数；通常，随机素性测试绝不会把素数误判为合数，但它有可能为把一个合数误判为素数。误差的概率可通过多次重复试验几个独立值a而减小；对于两种常用的测试中，对任何合数n，至少一半的a检测n的合性，所以k的重复可以减小误差概率最多到，可以通过增加k来使得误差尽量小。随机素性测试的基本结构：1、随机选取一个数字a。2、检测某个包含a和输入n的等式（与所使用的测试方法有关）。如果等式不成立，则n是合数，a作为n是合数的证据，测试完成。3、从1步骤重复整个过程直到达到所设定的精确程度。在几次或多次测试之后，如果n没有被判断为合数，那么可以说n可能是素数。常见的检测算法：费马素性检验（Fermat primality test），米勒拉宾测试（Miller–Rabin primality test），Solovay–Strassen测试，卢卡斯-莱默检验法（Lucas–Lehmer primality test）。筛素数法筛素数法可以比枚举法节约极大量的时间（定n为所求最大值，m为≤n的质数个数，那么枚举需要O（n^2）的时间复杂度，而筛素数法为O（m*n）,显然m<

#include

using namespace std;

const long long size=1000000;//修改此值以改变要求到的最大值

bool zhishu[size+5]={false};

int main（）{

freopen（"zhishu.out","w",stdout）;//输出答案至“筛质数（shaizhishu）.exe”所在文件夹内

zhishu[2]=true;

for（long long i=3;i<=size;i+=2）zhishu[i]=true;//所有奇数标为true，偶数为false

for（long long i=3;i<=size;i++）{

if（zhishu[i]）{//如果i是质数

int cnt=2;

while（cnt*i<=size）{//把i的倍数标为false（因为它们是合数）

zhishu[cnt*i]=false;

cnt++;

}

int cnt=1;

for（int i=2;i<=size;i++）{//全部遍历一遍

if（zhishu[i]）{//如果仍然标记为true（是质数）则输出

cout<

cnt++;

}

return 0;

}

样例输出结果，第一个数是个数，第二个是第几个质数

1 2

2 3

3 5

4 7

5 11

6 13

7 17

8 19

9 23

10 29

11 31

12 37

13 41

14 43

15 47

16 53

17 59

18 61

19 67

20 71

21 73

22 79

23 83

24 89

25 97

*/筛选法的Java实现，如下：/**

* @title SOE

* @desc 简单的埃氏筛选法计算素数

* @author he11o

* @date 2016年5月3日

* @version 1.0

public class SOE {

public static int calPrime（int n）{

if（n<=1）{

return 0;

}

byte[] origin = new byte[n+1];

int count = 0;

for（int i=2;i

if（origin[i] == 0）{

count++;

int k = 2;

while（i*k<=n）{

origin[i*k] = 1;

k++;

}

}else{

continue;

}

return count;

}

}采用简单的埃氏筛选法和简单的开方判断素数法计算1000000以内素数的个数的效率比较：StopWatch '计算1000000以内素数的个数': running time （millis） = 268-----------------------------------------ms % Task name-----------------------------------------00024 009% 简单的埃氏筛选法；00244 091% 简单的开方判断素数法。猜想播报编辑哥德巴赫猜想：是否每个大于2的偶数都可写成两个素数之和？孪生素数猜想：孪生素数就是差为2的素数对，例如11和13。是否存在无穷多的孪生素数？斐波那契数列内是否存在无穷多的素数？是否有无穷多个的梅森素数？在n2与（n+1）2之间是否每隔n就有一个素数？是否存在无穷个形式如X2+1素数？黎曼猜想 [2]哥德巴赫猜想在1742年给欧拉的信中哥德巴赫提出了以下猜想：任一大于2的整数都可写成两个质数之和。因现今数学界已经不使用“1也是素数”这个约定，原初猜想的现代陈述为：任一大于5的整数都可写成三个质数之和。欧拉在回信中也提出另一等价版本，即任一大于2的偶数想陈述为欧拉的版本。把命题"任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，即"任一充分大的偶数都可以表示成二个素数的和，或是一个素数和一个半素数的和"。　今日常见的猜想陈述为欧拉的版本，即任一大于2的偶数都可写成两个素数之和，亦称为“强哥德巴赫猜想”或“关于偶数的哥德巴赫猜想”。从关于偶数的哥德巴赫猜想，可推出任一大于7的奇数都可写成三个质数之和的猜想。后者称为“弱哥德巴赫猜想”或“关于奇数的哥德巴赫猜想”。若关于偶数的哥德巴赫猜想是对的，则关于奇数的哥德巴赫猜想也会是对的。1937年时前苏联数学家维诺格拉多夫已经证明充分大的奇质数都能写成三个质数的和，也称为“哥德巴赫-维诺格拉朵夫定理”或“三素数定理”。2013年，秘鲁数学家哈拉尔德·赫尔弗戈特在巴黎高等师范学院宣称：证明了一个“弱哥德巴赫猜想”，即“任何一个大于7的奇数都能被表示成3个奇素数之和”。黎曼猜想黎曼猜想是关于黎曼ζ函数ζ（s）的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼（1826～1866）于1859年提出。德国数学家希尔伯特列出23个数学问题。其中第8问题中便有黎曼假设。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。黎曼猜想提出：黎曼ζ函数ζ（s）非平凡零点（在此情况下是指s不为-2、-4、-6等点的值）的实数部份是1/2。即所有非平凡零点都应该位于直线1/2 + ti（“临界线”（critical line））上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。无人给出一个令人信服的关于黎曼猜想的合理证明。在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上 Re（s）=1/2 的直线称为 critical line。运用这一术语，黎曼猜想也可以表述为：黎曼ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。黎曼猜想是黎曼在 1859 年提出的。在证明素数定理的过程中，黎曼提出了一个论断：Zeta函数的零点都在直线Res（s） = 1/2上。他在作了一番努力而未能证明后便放弃了，因为这对他证明素数定理影响不大。但这一问题仍然未能解决，甚至于比此假设简单的猜想也未能获证。而函数论和解析数论中的很多问题都依赖于黎曼假设。在代数数论中的广义黎曼假设更是影响深远。若能证明黎曼假设，则可带动许多问题的解决。孪生质数1849年，波林那克提出孪生质数猜想（the conjecture of twin primes），即猜测存在无穷多对孪生质数。猜想中的“孪生质数”是指一对质数，它们之间相差2。例如3和5，5和7，11和13，10,016,957和10,016,959等等都是孪生质数。英国数学家戈弗雷·哈代和约翰·李特尔伍德曾提出一个“强孪生素数猜想”。这一猜想不仅提出孪生素数有无穷多对，而且还给出其渐近分布形式。2013年5月14日，《自然》（Nature）杂志在线报道张益唐证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”，这一研究随即被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破，甚至有人认为其对学界的影响将超过陈景润的“1+2”证明。 [3]梅森质数17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：当2p-1 中的p是质数时，2p-1是质数。他验算出：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2p-1是质数。 p=2，3，5，7时，2p-1都是素数，但p=11时，所得2,047=23×89却不是素数。梅森去世250年后，美国数学家科尔证明，267-1=193,707,721×761,838,257,287，是一个合数。这是第九个梅森数。20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。由于这种质数珍奇而迷人，它被人们称为“数学珍宝”。值得一提的是，中国数学家和语言学家周海中根据已知的梅森质数及其排列，巧妙地运用联系观察法和不完全归纳法，于1992年正式提出了梅森素质分布的猜想，这一重要猜想被国际上称为“周氏猜测”。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

质数真的没有规律吗？ - 知乎

质数真的没有规律吗？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册数学思维数论规律质数真的没有规律吗？关注者22被浏览28,876关注问题写回答邀请回答好问题1 条评论分享11 个回答默认排序罗莫心开者，幼冲而即悟；意闭者，皓首而难精。关注所有素数是确定的，当然是有规律的。能确定的存在都叫规律。只是描述素数规律的时候不能再用以往的经验了，素数不能用有限项的多项式经有限步运算来表达。也就是说素教应有公式，却没有通项公式，算法封闭型的迭代通项公式也没有，这个是可证明的。但算法开放的迭代表达是存的，类似威尔逊定理的算法就是，但超大素数没法在多项式时间里计算出来，故用它来找大素数几乎没啥用。数学界渴望有新的办法能次第找到超大素数，同时也希望干万别可轻易找到超大素数。符合人择原理，还真是这样，人类这两个愿望，素数规律，它都能满足。确实无通项公式能找到超大素数，也确实能通过烦琐迭代依次找到超大素数，不过用多少时间能找到却不敢保证。只不过素数无通项公式并不影响能存在性证明哥猜和黎曼猜想。以后会有复杂度极高的构造性证明也是有可能的，不过得需借助于计算机了。能存在性证明哥猜和黎曼猜想，也算捕捉到了素数的核心规律了。鉴于知乎不能表达超前命题的习惯，说了就要证明，还要知乎的编辑能看懂，否则会被扣上事实无来源，故就不多说了。原创性答案的问题暂且别在知手里找。但知乎会提供线索。祝好运能找到完美答案，或在自己心中，或在某人的文字里。发布于 2020-10-01 18:53赞同 7添加评论分享收藏喜欢收起知乎用户高斯和欧拉都研究过素数公式。不过目前看来要等黎曼猜想证实了之后下一步的研究才能展开吧。。。问题问的很好。。。也许有一天你就发现了素数的规律。发布于 2019-02-17 18:23赞同 21 条评论分享收藏喜欢

如何用数列的通项公式来表示从 2 开始的所有质数？ - 知乎

如何用数列的通项公式来表示从 2 开始的所有质数？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册趣味数学如何用数列的通项公式来表示从 2 开始的所有质数？似乎怎么凑都不对。。。关注者82被浏览88,118关注问题写回答邀请回答好问题 32 条评论分享14 个回答默认排序知乎用户各位，这个还真有……《高效程序的奥秘》一书第十六章讨论了此问题，给出了数个公式及各自证明，有兴趣的可以自行查找。编辑于 2012-12-28 23:10赞同 448 条评论分享收藏喜欢收起Silence 关注质数的生成规律是本世纪最大的数学秘密之一，黎曼有一个著名的猜想，根据这个假设得到了无数正确的结论，却仍然无法证明猜想的正确，因此又被成为黎曼假设。。。。证明它还能获得100万美元的奖金哦亲！发布于 2011-10-07 00:11赞同 83 条评论分享收藏喜欢

素数分布_百度百科

_百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心收藏查看我的收藏0有用+10素数分布播报讨论上传视频数学术语本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目审核。素数分布是数论中研究素数性质的重要课题。素数或称质数，是指一个大于1的整数，除1和它本身外，不能被其他的正整数所整除。研究各种各样的素数分布状况，一直是数论中最重要和最有吸引力的中心问题之一。中文名素数分布外文名distribution of prime numbers作用数论中研究素数性质目录1简介2猜想▪孪生素数猜想▪梅森素数分布▪素数定理▪算术级数中的最小素数▪相邻素数之差简介播报编辑大约在公元前300年，欧几里得就证明了素数有无穷多个。设2,3,…,p是不大于p的所有素数，q=2*3*…*p+1。容易看出q不是2，3，…，p的倍数。由于q的最小正除数一定是素数，因此，或者q本身是一个素数，或者q可被p与q之间的某两个素数所整除[比如：2*3*5*7*11*13+1=30031=59*509]。所以必有大于p的素数存在，由此即知素数有无穷多个。素数在自然数中占有极其重要的地位，但是它的变化非常不规则。最初的研究方法，是通过观察素数表来发现素数分布的性质。现有的较完善的素数表是D.B.扎盖尔于1977年编制的，列出了不大于50000000的所有素数。从素数表可以看出：在1到100中间有25个素数，在1到1000中间有168个素数，在1000到2000中间有135个素数，在2000到3000中间有127个素数，在3000到4000中间有120个素数，在4000到5000中间有119个素数，在5000到10000中间有560个素数。猜想播报编辑孪生素数猜想两个差等于2的一对素数,称为孪生素数。例如,3和5；5和7；11和13；17和19；29和31；41和43；59和61；71和73；101和103；…10016957和10016959；都是孪生素数。迄今所知的最大孪生素数是1159142985×2-1和1159142985×2+1；它们是A.O.L.阿特金和N.W.里克特于1979年得到的。所谓孪生素数猜想，即存在无穷多对孪生素数。这个猜想至今没有解决，但认为它是正确的可能性很大。梅森素数分布2^P-1型的数称为梅森数，并以Mp记之；而 2^P-1型的素数称为梅森素数。这种特殊素数貌似简单，但探究难度却极大。它不仅需要高深的理论和纯熟的技巧，而且还需要进行艰巨的计算。梅森素数历来是数论研究的一项重要内容，也是当今科学探索的热点和难点之一。2013年2月6日，据英国《新科学家》杂志网站报道，柯蒂斯·库珀(Curtis Cooper)领导的研究小组于1月25日日发现了已知的最大梅森素数--“2^57885161-1”，该素数有17,425,170位，它是目前已知的最大素数。如果用普通字号将这个巨数连续写下来，其长度可超过65公里！迄今人们已经发现48个梅森素数。 [1]1772年，有“数学英雄”美名的瑞士数学大师欧拉在双目失明的情况下，靠心算证明了2^31-1(即2147483647)是第8个梅森素数。这个具有10位的素数，堪称当时世界上已知的最大素数。在“手算笔录”的年代，人们仅找到12个梅森素数。而计算机的诞生和网格技术的出现，加速了梅森素数探究的进程。1996年初，美国数学家、程序设计师乔治·沃特曼编制了一个梅森素数计算程序，并把它放在网页上供全球数学家和业余数学爱好者免费使用。它就是举世闻名的GIMPS项目。为了激励人们寻找梅森素数和促进网格技术发展，总部设在美国的电子新领域基金会（EFF）于1999年设立了专项奖金悬赏参与GIMPS项目的梅森素数发现者。它规定向第一个找到超过100万位数的个人或机构颁发5万美元。后面的奖金依次为：超过1000万位数，10万美元；超过1亿位数，15万美元；超过10亿位数，25万美元。不过，绝大多数人参与该项目并不是为了金钱，而是出于好奇心、求知欲和荣誉感。梅森素数的分布极不规则。探索梅森素数的分布规律似乎比寻找新的梅森素数更为困难。数学家们在长期的摸索中，提出了一些猜想。英国数学家香克斯、美国数学家吉里斯、法国数学家托洛塔和德国数学家伯利哈特就曾分别给出过关于梅森素数分布的猜测，但他们的猜测有一个共同点，就是都以近似表达式给出；而它们与实际情况的接近程度均未尽如人意。中国数学家及语言学家周海中经过多年的研究，于1992年首次给出了梅森素数分布的精确表达式，为人们寻找这一素数提供了方便；后来这一重大成果被国际上命名为“周氏猜测”。美籍挪威数论大师、菲尔茨奖和沃尔夫奖得主阿特勒·塞尔伯格认为：周氏猜测具有创新性，开创了富于启发性的新方法；其创新性还表现在揭示新的规律上。 [2]素数定理关于素数个数的研究是素数分布中最重要的问题之一。以 π(x)表示不大于x的素数个数，例如，π(2)=1，π(3)=2，π(100)=25，π(1000)=168。欧几里得早就证明了素数有无穷多个，即。从表可以看出：①x越大,π(x)与x的比值越接近于0；②x越大,π(x)与x/lnx的比值越接近于1。A.-M.勒让德和C.F.高斯猜测即通常所称的素数定理。它是素数分布理论的中心定理。在这方面首先做出贡献的是∏.Л.切比雪夫，他在1852年左右证明了存在两个正常数с1,с2，使得不等式с1x/lnx≤π(x)≤с2x/lnx成立，其中x≥2。在1896年，J.（-S.）阿达马和C.瓦莱·普桑彼此独立而又几乎同时证明了素数定理。他们的证明都使用了高深的复变函数论知识。因此，能否以尽可能初等的方法来证明素数定理，则成为数学家一直探讨的重要问题。1949年，A.赛尔伯格和P.爱尔特希给出了素数定理的初等证明，除了极限、lnx和e的性质之外，没有用到其他的分析知识，但证明过程十分复杂。他们的证明是基于赛尔伯格的著名恒等式：当x≥1时有式中，表示对所有不超过x的素数求和，记号O的定义如下：设g(x)>0,ƒ(x)为一复值函数, α≤x≤b)。若存在一个与x无关的正常数M,使得当α≤x≤b)时有|ƒ(x)|≤Mg(x),则记为ƒ(x)=O(g(x)),M称为记号O所含之常数。于是某一满足上述条件的函数ƒ(x),就可用O(g(x))代之。有误差项的素数定理是指寻求误差π(x)-lix的最佳估计,,它比x/lnx更接近于π(x)。C.瓦莱·普桑于1900年首先证明了这里с是一正的常数。H.von科赫于1901年在黎曼假设（见黎曼ζ函数）下证明了O(xlnx)。И.М.维诺格拉多夫等于1958年借助于他的三角和估计方法,得到π(x)-lix=O(xexp(-с(lnx)))，ε为任意正数，с是和ε有关的正常数。误差项π(x)-lix的变化是极不规则的。设ƒ(x)是实函数，如果存在与x无关的正常数α，使得任意大的x满足ƒ(x)>αx，则记为ƒ(x)=Ω(x)；若使得任意大的x满足ƒ(x)<- αx，则记为ƒ(x)=Ω-(x)。若这两种情形同时出现，则记为ƒ(x)=Ω(x)。J.E.李特尔伍德于1914年证明了：当x→∞时，有π(x)-lix=Ω((xlnlnlnx)/lnx)。算术级数中的素数定理　P.G.L.狄利克雷于1837年首先证明了首项与公差互素的算术级数中有无限多个素数。设整数q≥3.1≤l≤q，(l,q)=1。以π(x,q,l)表首项为l、公差为q的算术级数中不超过x的素数之个数。类似于素数定理，对于固定的q，容易证明：式中φ(q)表示不超过q且与q互素的正整数的个数。这就是通常所说的算术级数中的素数定理。关于误差项估计，A.佩奇于1935年和C.L.西格尔与A.瓦尔菲施于1936年证明了：对任意正数h，当3≤q≤(lnx)时，有式中с为绝对正常数；记号O中所含的常数仅与h有关，而与q无关。算术级数中的最小素数设k≥3，1≤l≤k，(l,k)=1。以p(k,l)表算术级数knl(n=0,1,2,…)中的最小素数。S.乔拉猜测p(k,l)=O(k)，其中ε为任意小的正数。ю.Β.林尼克于1944年首先证明了存在绝对常数с，使得p(k,l)=O(k)。潘承洞于1957年首先指出с是可以计算的，并定出了с的值。目前最好的结果с≤17是陈景润于1979年得到的。相邻素数之差设pn是第n个素数，是相邻的两个素数之差。在黎曼假设下,H.克拉默于1921年证明了无条件结果是赫斯－布朗和H.伊瓦尼克于1979年得到的。另一方面，关于dn的下界，E.邦别里和H.达文波特于1966年证明了：M.N.赫胥黎于1977年改进为E≤0.4425。猜测应有E=0。关于dn还有许多有趣的研究。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

素数(又叫质数) – 整除和素数 – Mathigon

叫质数) – 整除和素数 – Mathigon请在浏览器中启用 JavaScript 以访问Mathigon。跳过导航Ploypad课程活动课程登入创建新帐户课程Ploypad活动课程计划暗模式更改语言更改语言English中文DeutschRomânăTürkçe 登录到MathigonGoogleMicrosoft要么电子邮件或用户名密码新账户重设密码登入整除和素数因子和倍数整除规律素数(又叫质数)素数的分布最小公倍数最大公约数分享词汇表重置进度分享重置进度这将删除您在本课程中所有章节的进度和聊天数据，并且无法撤消！立即重置词汇表选择左侧的一个关键字...整除和素数素数(又叫质数)阅读时间: ~10 min显示所有步骤我们在计算这些除数对时，会遇到一些只有第一对除数的数。一个例子是 13 – 它只有除数1和13自己。这些特殊的数被称为__素数__. 它们不能被拆成两个稍小的数的乘积。某种程度上，它们成了“原子数”。注意 1 自身不是一个素数, 所以首批的一些素数是 2, 3, 5, 7, 11, 13, …任意不是素数的数都能被写成素数的乘积形式：我们只要不断的把它分解成更多的部分直到所有因子都是素数。例如,842×422×213×784=2×2×3×7现在 2, 3 和 7 是素数而且不能再被分解了。2 × 2 × 3 × 7 被称为84的质因式, 同时 2, 3 和 7 是它的质因子. 注意一些素数，比如这里的2，可以在一个质因式里出现多次。每个整数都有一个质因式，但是没有两个数的质因式是一样的。更进一步，任意整数都只有一种质因式写法 – 除非我们把素数不同顺序算成不同写法。这就是算术基本定理(FTA-Fundamental Theorem of Arithmetic).利用算术基本定理能够使许多数学问题变得简单多了: 我们做多个数的质因数分解时，我们先独立分解一个个数来解决问题，这样通常会简单很多，然后把这些结果组合起来从而解决原来的问题。埃拉托色尼筛选法结果, 很难确定一个数是否是素数: 你总是必须找到它全部的质因数, 随着数变大而变得越难确定。然而，希腊数学家 - 昔兰尼古城的埃拉托色尼想到了一个简单的算法来找出100内的全部素数: 埃氏素数筛选法.123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100首先我们需要写下100内的所有整数我们知道1不是素数，所以删掉它。最小的素数是2. 任何2的倍数都不是素数，因为它有个因子2。所以我们能够删掉所有2的倍数。在我们列表里下一个数是3 – 又是个素数. 所有3的倍数都不是素数，因为它有因子3, 所以我们也能删掉它们。下一个数4, 已经被删掉了，所以我们继续下个数5: 它又是个素数, 同理我们删掉所有5的倍数。下一个素数一定是, 因为6已经被删掉了. 再一次的，我们删掉它的倍数。下一个素数是. 但是请注意，它的所有倍数都是已被删掉3的倍数。对于剩下的所有其它数也是一样的情形。因此所有这些剩下的数都必定是素数。现在我们可以数数了，总共有个素数小于100。有多少个素数？当然我们能够用埃氏素数筛选法找更大的数素。在100到200间有21个素数, 200到300间有16个素数，在400到500间有17个素数，而且10000到10100间只有11个。素数看起来在不断的分散了，但是它们会终止吗？存在一个最大或最后的素数吗?古希腊数学家亚历山大的欧几里德第一个证明了存在无穷多个素数的，通过下面的论证: 假设只有有限多个素数。P, P, P, P, P让我们把它们全部相乘，得到一个非常大的数，我们把它称为N.N = P × P × P × P × P现在我们思考下N + 1. 任何整除N的素数都不能整除N + 1. 而且因为所有整除N的素数都已经被找到了, 它们中也不存在能够整除N + 1的.P, P, P, P, P NP, P, P, P, P N + 1根据算术基本定理我们知道N + 1必定有个质因数P’, 它不是N + 1自身，也不是其它新的能够整除N + 1的素数。P’ N + 1在这两种情况下，我们找到了一个新的素数它却不在我们的原始列表中，但我们又假设了所有素数都在这个列表中。显然出了什么问题！但是从步骤2–4都是绝对有效的，唯一的可能性是我们在步骤1中的初始假设是错误的。这意味着一定有无穷多个的素数。欧几里得的解释是历史上第一个正式数学__证明__的例子 — 表明一个陈述一定是正确的逻辑论证。这个例子通常被称为__反证法__：我们从一个假设开始，推断出一些不可能的事情，从而知道我们的假设一定是错误的。要显示更多内容，您必须完成以上所有活动和练习。你被卡住了吗？跳到下一步要么显示所有步骤接下来：素数的分布 Archie

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走近黎曼猜想（二）:质数的分布有什么规律？

2021-12-04 12:00:02　来源: 李永乐老师

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质数是只有1和它本身两个约数的数字。比如5就是质数，因为5只有1和5两个约数，而4就不是质数，因为4的约数除了1和4，还有2，这样的数字称为合数。数学中有一个专门的分支：数论，专门研究最简单的数字——自然数的性质。在数论中，质数是最引人入胜的风景，有许许多多关于质数的猜想，例如以前介绍过的哥德巴赫猜想、费马数猜想等等，有些经过了数百年的时间才被人证明，有些直到现在还没有被证明。正因为质数如此迷人和复杂，目前人们还没有完全掌握质数的规律，所以人们才把质数作为密码学的基础。那么，质数到底有多少个呢？它的分布有什么规律吗？人们对质数的研究已经有了哪些成果呢？质数有多少个？我们很容易通过计算写出前几个质数，它们是：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37…那么，如果我们就这样写下去，能够把质数都写穷尽吗？如果质数可以穷尽，那么关于质数的许多猜想就变得容易了许多。遗憾的是，在古希腊时代，人们就已经认识到质数有无穷多个了，这要归功于数学家、几何学的创立者欧几里得。欧几里得通过反证法证明了质数有无穷多个。所谓反证法，就是假设一个命题不成立，再通过演绎的方法推理出两个相互矛盾的结论，从而证明该命题。欧几里得的思路是：假设质数的个数是有限个，分别是2、3、5、7、….、p,其中p是最大的质数，那么可以令数字q等于所有质数的乘积与1的和，即这个数字q是质数还是合数呢？（1）如果这个数字q是质数，那么q是一个比p大的质数，与p是最大的质数矛盾，所以q不是质数。（2）如果这个数字q是合数，那么它必然有除了1和它本身以外其他的约数，或者说它可以进行质因数分解，也就是把它写作一堆质数的乘积：这里的m都是质数，叫做q的质因子。由于所有的质数都被我们找到了，因此每一个m只能在2、3、5、7、…、p中取值。可是，根据q的计算方法可知：也就是说q-1是2、3、5、7、…、p这些质数的整数倍，q除以2、3、5、7、…、p中的任何一个数字都会有余数1，因此q不可能有任何一个质数因子，这与q是合数矛盾，q不可能是合数。所以，q既不是质数也不是合数，二者发生了矛盾。矛盾的起源在于我们假设质数是有限个，所以质数不可能是有限个，质数有无穷多个，真是一个漂亮的证法！如何寻找质数？虽然质数有无穷多个，但是人们依然希望知道如何快速判断一个数是质数还是合数。古希腊的埃拉托色尼（我们之前谈到过，就是那个测量出地球半径的人）给出了一种制作质数表的方法：筛选法。他的思路是：要找到一个小于某自然数n的全部质数，只需要按照下面的方式：1. 找到这个数字的平方根m=√m2. 找到不大于m的所有质数。3. 在一张自然数表上划掉所有质数的整数倍（质数本身不划掉）4. 把1划掉。5. 没有划掉的数字就是质数。例如，我们要找到100以内的所有质数，只需要按照下面的步骤进行：1. 计算100的平方根，是10。2. 10以内的质数有2、3、5、73. 划掉2、3、5、7的整数倍。首先划掉2的倍数，如4、6、8…、98、100，然后划掉3的倍数，如6、9、12、15、…、99，重复的就不需要再划掉了。然后划掉5的倍数，7的倍数。4. 最后划掉1。5. 表中余下的数字就是质数。这个方法的依据是：如果一个数字是合数，那么它最小的质因子不会超过它的平方根。对于这个问题的证明我们依然可以使用反证法：如果所有质因子都大于它的平方根，两个质因子相乘就会比它大了。质数分布有规律吗？人们虽然可以通过这种方法获得质数表，但是数字一旦大起来，判断是不是质数就非常困难，人们只能使用已知的质数因子一个个去除，去尝试。例如费马数它有一个1187位的因子，还没有判断出来是不是质数。长久以来，人们一直希望发现质数的分布规律，最好能通过一个公式算出质数，或者能通过前面的质数计算出后一个质数。第一个获得突破的人是瑞士数学家欧拉。欧拉在研究级数求和的问题中，得到了一个著名的公式：欧拉乘积定理。这个公式并不难理解：左边的Σ表示求和，即把全体自然数n的s次幂的倒数求和。右边的Π表示乘积，而数字p是质数。如果我们把它展开成更加好认的形式，就是：这是多么美妙的式子！虽然自然数和质数都是无穷多个，但是全体的自然数和全体质数之间却有某种微妙的联系。不仅如此，欧拉通过对质数的研究，发现了一个近似的规律：小于一个数x的质数个数π(x)大约可以用一个函数计算出来：lnx是一个对数函数。欧拉研究出这个内容之后，就去做其他工作了。毕竟欧拉涉猎的内容太广泛。于是，这个内容的接力棒就传到了另外一位数学巨匠高斯手中。素数定理在欧拉去世的时候，德国的数学巨匠高斯六岁。他最出名的应该是在小学的时候计算1+2+3+4+…+100的故事，但是他的贡献远远不止于此。高斯在数论、代数、统计、分析、微分几何、大地测量学、地球物理学、力学、静电学、天文学、矩阵理论和光学等方面均有巨大贡献，以高斯的名字命名的定律有110个，他和阿基米德、牛顿、欧拉并称为四大数学家。高斯小的时候，经常自己一个人研究数字。他经常随意的写出连续1000个数字，并找出中间的质数个数。他发现，开始的数字越大，这连续1000个数字中的质数越少。他用找出的质数个数除以1000，就得到了质数的“密度”。高斯发现这个密度大约可以用算式计算。这个结果与欧拉得到的结果接近，但又不完全相同。高斯得到这个结果后，并没有急于发表。因为高斯并不喜欢发表一些不成熟的结论，他向来要求自己的论文严格而优美。这样，这个机会就留给了法国数学家勒让德。勒让德在1798年提出：小于x的质数个数可以用下面的计算得到：其中的第一项积分式子称为Li(x)，而c是一个误差项。质数也叫做素数，而且勒让德提出这个问题的时候，并没有严格证明，所以称为素数猜想。勒让德提出素数猜想的荣誉保留了50年，然而在1849年，高斯在给他人的信中谈到：1792年他就已经提出了这个猜想。人们相信高斯，因为高斯经常这么干。我们把素数猜想计算的结果Li(x)，质数实际个数π(x)，以及欧拉计算的x/lnx画在一张图中，就会发现Li(x)的结果更加接近实际的素数个数。质数与黎曼猜想我们之前谈到：质数与黎曼猜想之间有着千丝万缕的联系。1896年，法国科学院举行比赛：征稿证明黎曼定理。两位年轻的数学家阿达马和德·拉·瓦莱布桑获得了这一殊荣。实际上这两位数学家并没有证明黎曼猜想，只是获得了一点进展，但是这一点进展就一举证明了欧拉和勒让德的猜想，把素数猜想变成了素数定理。黎曼猜想的威力可见一斑。1901年，瑞典数学家科赫证明：如果黎曼猜想被证实，那么素数定理中的误差项c大约是√xln(x)的量级。然而黎曼猜想到底是对是错？可能我们还需要等待许多年。即便黎曼猜想被证实，人们也只是在质数规律探索的过程中更近了一步，距离真正破解质数的规律，还有很长的路要走。也许质数就是宇宙留给人类的密码。

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